Basic Knowledge

预备知识

从运算角度，可以从另一方面理解锥的意义。定义以下的运算：对于 $\mathrm{\Lambda }\subseteq R$, $$\mathrm{\Lambda }C=\{\lambda c|\lambda \in \mathrm{\Lambda },c\in C\}$$ 从锥的定义而言，就是定义了一类的集合，在$\mathrm{\Lambda }=R^{+}$的乘法运算下，保持不变性。

一些拓扑的知识不再深究，有兴趣可以读读Rudin第二章，基本上所有的东西自己证明一遍大概都能懂。这部分技巧性很高。

凸集合分离定理

凸集分离定理最重要的一点，在于叙述了一个集合，与一个不在该集合中的点，可以通过一种拓扑性质研究二者关系。具体而言，可以通过以下的例子理解。

exercise 1.1.4

If $A+C\subseteq B+C$, $B$ is convex and closed, $C$ is bounded, prove $A\subseteq B$

实际上，上述问题等价于证明 If $C\subseteq B+C$, $B$ is convex and closed, $C$ is bounded, prove $0\in B$. 反证法用凸集分离定理，$\mathrm{\forall }b\in B$, $\mathrm{\exists }a$, $<a,b><0$ 那么很容易得到 $<a,b+c><<a,c>$（简单的运算性质）

TO BE CONTINUED