Sets Calculation

集合运算

补充一种常用的集合运算： $A Δ B = (A - B) \cup (B - A)$

一个比较好用并且在很大程度上跟后面抽代理论相关的一个定理叙述如下，证明是显然的。

Lemma.

Given a finite or enumerate union of sets $\cup_{i = 1}^{p} E_{i}$ , there are subsets $F_{i} \subset E_{i}$ , such that the sets F_i are disjoint and $\cup_{i = 1}^{p} E_{i} = \cup_{i = 1}^{p} F_{i}$

这个定理主要在后面 monotone class 与 sigma-ring 的理论中会用到。

接下来是集合的极限相关的定义。定义如下两个运算： $\begin{array}{r} lim sup E_{i} = \cap_{n = 1}^{\infty} (\cup_{i = n}^{\infty} E_{i}) \\ lim inf E_{i} = \cup_{n = 1}^{\infty} (\cap_{i = n}^{\infty} E_{i}) \end{array}$ 一种理解方式， $lim sup E_{i}$ 是在给定集合序列中出现无穷多次的元素集合，(若元素只出现有限多次，在给定N以后的集合，做并运算的结果都不会有N，不会在这个集合当中; 若给定N以后，在剩下的集合取交集，没有该元素，那么之后的所有集合都不会出现该元素，说明这个元素只出现有限多次)

$lim inf E_{i}$ 是在给定集合序列中只在有限多个集合中不存在的元素，(若只在有限多个集合中不存在，那么在给定N以后的元素，做交集结果中都会存在这个元素；若在无限多个集合中不存在，那么在给定N以后的元素，做交集结果中都会不存在这个元素，不会在最终的结果中存在)

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对于这个运算可以直接从符号本身来理解。In general, when there are multiple objects around which a sequence, function, or set accumulates, the inferior and superior limits extract the smallest and largest of them; the type of object and the measure of size is context-dependent, but the notion of extreme limits is invariant.

显然，两个运算中内部的Cup的运算干的事情就是提取最大的那个集合，而Cap干的事情实在提取最小的那个集合。而外面的运算，其实在干的是取极限的事情（注意一下，一个是递减序列，用Cap, 一个是递增序列，用Cup）

很显然， $lim inf E_{i} \subset lim sup E_{i}$ . 说一个集合列收敛，我们想要说明的是 $E = lim sup E_{i} = lim inf E_{i}$

实际上上面已经提到了集合递增和递减的事情了。实际上，这个性质可以很大程度上化简极限运算的问题。我们后面计算极限的时候常常也是运用这种技巧。具体而言，我们有以下结论。

Lemma

If ${E_{i}}$ is increasing, $\cup_{i = n}^{\infty} E_{i} = \cup_{i = 1}^{\infty} E_{i}$ , $\cap_{i = n}^{\infty} E_{i} = E_{n}$ , obviously, $lim sup E_{i} = lim inf E_{i} = \cup_{i = 1}^{\infty} E_{i}$

If ${E_{i}}$ is decreasing, $\cup_{i = n}^{\infty} E_{i} = E_{n}$ , $\cap_{i = n}^{\infty} E_{i} = \cap_{i = 1}^{\infty} E_{i}$ , obviously, $lim sup E_{i} = lim inf E_{i} = \cap_{i = 1}^{\infty} E_{i}$